问题：设$\{A_n,n=1,2,\cdots\}$两两不交,证明$\lim_{n\to\infty}A_n=\varnothing$

设集合序列 $\{A_n\}_{n\ge1}$ 两两不交，即对任意 $m\ne n$，有

回忆定义，集合序列的上、下极限定义为

NOTE

初学时常常带入数列极限的理解习惯，导致下意识忘记了上面这个原始定义

要证明其集合极限为空，只需证明上极限为空，因为总有

对任意一点 $x$，由于各 $A_n$ 两两不交，$x$ 至多属于其中一个集合。换言之，$x$ 不可能属于无穷多个 $A_n$。 而

等价于：$x$ 属于无穷多个 $A_n$。这与两两不交时 $x$ 至多属于一个 $A_n$矛盾。因此

于是

从而集合序列的极限存在（因为没有更“小”的集合了），且

也可以直观地说：每个元素最多只会在序列中出现一次，因此最终一定不再出现。