1. $\Omega\in\mathcal D$#

因为 $\mathbb P_1,\mathbb P_2$ 都是概率测度，

故 $\Omega\in\mathcal D$。

2. 对真差封闭#

若 $A, B\in\mathcal D$，则

于是

所以 $A-B\in\mathcal D$。

3. 若 $A_n\in\mathcal D$ 且 $A_n\uparrow A$，则 $A\in\mathcal D$#

由概率测度的下连续性，

又因为每个 $A_n\in\mathcal D$，所以

因此

即

所以 $\mathcal D$ 是一个 $\lambda$-系。

题设说 $\mathbb P_1,\mathbb P_2$ 在 $\mathcal C$ 上相等，即

又因为 $\mathcal C$ 是 $\pi$-系，根据 $\pi$-$\lambda$ 定理，

而题设 $\mathcal F=\sigma(\mathcal C)$，故

因此，对任意 $A\in\mathcal F$，都有

这就证明了：两个概率测度只要在生成 $\mathcal F$ 的一个 $\pi$-系上相同，便在整个 $\mathcal F$ 上相同。